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Forum "Folgen und Reihen" - Fourier f(x)=|sin(x)|
Fourier f(x)=|sin(x)| < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fourier f(x)=|sin(x)|: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Mo 16.05.2011
Autor: zocca21

Aufgabe
Geben sie die Fourier Koeffizienten von f(x)=|sin(x)| aj,bj und a0 an.
- [mm] \pi \le [/mm] x < [mm] \pi [/mm]

Ich hab die Funktion gezeichnet..

Also die Funktion ist [mm] \pi [/mm] - periodisch.

Achsensymmetrisch und somit bj = 0

ao = [mm] \bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx} [/mm]
    = [mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] ( 1 - [mm] cos(\pi)) [/mm] = [mm] \bruch{8}{\pi} [/mm]

aj = [mm] \bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x) cos(2jx) dx} [/mm]
    = [mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] [ [mm] \bruch{-cos(2jx)*cos(x) - 2j*sin(2jx) * sin(x)}{1-4j^2} [/mm] ] Grenzen von 0 bis [mm] \pi [/mm]

= [mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] ( [mm] \bruch{1 + cos(2j\pi)}{1-4j^2}) [/mm]

Ist die Rechnung korrekt? Da es ja Achsensymmetrisch ist habe ich den die Funktion von 0 bis [mm] \pi [/mm] mal 2 genommen.

Kann ich [mm] cos(2j\pi) [/mm] ebenso wie [mm] cos(j\pi) [/mm] als [mm] (-1)^j [/mm] schreiben?

Ich habe noch eine allgemeine Frage:
Die Fourier Reihe von sin(x) oder cos(x) ist die Funktion selbst oder?

Vielen Dank

        
Bezug
Fourier f(x)=|sin(x)|: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:30 Di 17.05.2011
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> Geben sie die Fourier Koeffizienten von f(x)=|sin(x)| aj,bj
> und a0 an.
>  - [mm]\pi \le[/mm] x < [mm]\pi[/mm]
>  Ich hab die Funktion gezeichnet..
>  
> Also die Funktion ist [mm]\pi[/mm] - periodisch.
>  
> Achsensymmetrisch und somit bj = 0


[ok]


>  
> ao = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}[/mm]
>      =
> [mm]\bruch{4}{\pi}[/mm] ( 1 - [mm]cos(\pi))[/mm] = [mm]\bruch{8}{\pi}[/mm]


Hier muss es lauten:

[mm]a_{0} = \bruch{4}{\blue{2}\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}[/mm]

,da die Funktion [mm]2\pi[/mm]-periodisch ist.


>
> aj = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x) cos(2jx) dx}[/mm]
>  
>     = [mm]\bruch{4}{\pi}[/mm] [ [mm]\bruch{-cos(2jx)*cos(x) - 2j*sin(2jx) * sin(x)}{1-4j^2}[/mm]
> ] Grenzen von 0 bis [mm]\pi[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{4}{\pi}[/mm] ( [mm]\bruch{1 + cos(2j\pi)}{1-4j^2})[/mm]


[ok]


>  
> Ist die Rechnung korrekt? Da es ja Achsensymmetrisch ist
> habe ich den die Funktion von 0 bis [mm]\pi[/mm] mal 2 genommen.
>  
> Kann ich [mm]cos(2j\pi)[/mm] ebenso wie [mm]cos(j\pi)[/mm] als [mm](-1)^j[/mm]
> schreiben?


Ja, klar.


>  
> Ich habe noch eine allgemeine Frage:
>  Die Fourier Reihe von sin(x) oder cos(x) ist die Funktion
> selbst oder?


Richtig.


>  
> Vielen Dank


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Fourier f(x)=|sin(x)|: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Di 17.05.2011
Autor: zocca21

Wieso habe ich bei der Berechnung von a0 [mm] 2-\pi [/mm] periodisch und bei der Berechnung von aj [mm] \pi-periodisch. [/mm]

Ich setze doch beides Mal als Funktion f(x) nun sin(x).

Klar, sin(x) ist 2 [mm] \pi [/mm] periodisch und im Betrag [mm] \pi [/mm] periodisch. Aber warum wechselt es oben in der Aufführung zwischen a0 und aj?

Vielen Dank für die Erläuterung.

Bezug
                
Bezug
Fourier f(x)=|sin(x)|: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Di 17.05.2011
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> Wieso habe ich bei der Berechnung von a0 [mm]2-\pi[/mm] periodisch
> und bei der Berechnung von aj [mm]\pi-periodisch.[/mm]
>  
> Ich setze doch beides Mal als Funktion f(x) nun sin(x).
>  
> Klar, sin(x) ist 2 [mm]\pi[/mm] periodisch und im Betrag [mm]\pi[/mm]
> periodisch. Aber warum wechselt es oben in der Aufführung
> zwischen a0 und aj?


Bei der Berechnung der [mm]a_{k}[/mm] ist natürlich die Periode [mm]2\pi[/mm] zu berücksichtigen.

Siehe hier: []Fourierreihe - Allgemine Form


>  
> Vielen Dank für die Erläuterung.


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Fourier f(x)=|sin(x)|: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Di 17.05.2011
Autor: zocca21

ok, mein aj bzw. ak im Ausgangsthread war ja korrekt und dort hab ich angenomen die Periode ist [mm] \pi [/mm] periodisch, da ich ja wegen |sin(x)| mich ja nur sin(x) von 0 bis [mm] \pi [/mm] interessiert.

Ist die Annahme dann aus dem Anfangspost korrekt oder? Bin gerade etwas verwirrt sorry..

Bezug
                                
Bezug
Fourier f(x)=|sin(x)|: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Di 17.05.2011
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> ok, mein aj bzw. ak im Ausgangsthread war ja korrekt und
> dort hab ich angenomen die Periode ist [mm]\pi[/mm] periodisch, da
> ich ja wegen |sin(x)| mich ja nur sin(x) von 0 bis [mm]\pi[/mm]
> interessiert.


Hier musst Du schon mit der []Formel arbeiten


>  
> Ist die Annahme dann aus dem Anfangspost korrekt oder? Bin
> gerade etwas verwirrt sorry..


Gruss
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Fourier f(x)=|sin(x)|: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:16 Di 17.05.2011
Autor: zocca21

Ok. vielen Dank nochmal ;)

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